Η Γραμμικότητα

Γράφει ο Βαγγέλης Τσούκας

Στα μαθηματικά και τις επιστήμες η γραμμικότητα αποτελεί τη σχέση μεταξύ δύο ποσοτήτων όπου η μία είναι ανάλογη της άλλης και η συνάρτησή τους παρίσταται με ευθεία γραμμή.
Ο τύπος που συνδέει γραμμικά δύο ποσότητες x και y είναι y = a*x + b, όπου a ο συντελεστής πολλαπλασιασμού που εκφράζει την κλίση της ευθείας και b η σταθερά της παράλληλης μετατόπισης της ευθείας στον κάθετο άξονα. Παραδείγματα αποτελούν η σχέση της τάσης και της έντασης του ρεύματος που διαπερνά έναν αγωγό ή του αριθμού των τεμαχίων και του κόστους της αγοράς τους. Ενώ η γραμμικότητα είναι μοναδική, οποιαδήποτε άλλη σχέση που δεν υπακούει στον γραμμικό κανόνα λέγεται μη γραμμική όπως είναι αυτές που περιέχουν δυνάμεις, ρίζες ή λογαρίθμους.

Η σημασία της γραμμικότητας είναι θεμελιώδης και οφείλεται στις ευνοϊκές ιδιότητες αυτής που μεταξύ άλλων είναι η προσθετική, δηλαδή f(x1+x2) = f(x1) + f(x2) και η ομοιογενής, δηλαδή f(a*x) = a*f(x). Συνήθης πρακτική αποτελεί η προσπάθεια αναγωγής (μετατροπής) με κατάλληλους μαθηματικούς χειρισμούς μιας μη γραμμικής σχέσης σε γραμμική, ώστε με τον τρόπο αυτό το αρχικό πολύπλοκο σύστημα να καταστεί πλήρως ελεγχόμενο. Παραδείγματα αποτελούν η αντικατάσταση μεταβλητών με κατάλληλες ποσότητες (πχ. λογαρίθμους) ώστε η καμπύλη γραφική παράσταση να μετατραπεί σε ευθεία καθώς και οι μετασχηματισμοί Fourrier, Laplace κλπ που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση συχνοτήτων. Επίσης στη στατιστική αναζητείται η προσέγγιση της σχέσης δύο τυχαίων ποσοτήτων από ευθεία από την οποία προκύπτει ο λεγόμενος συντελεστής συσχέτισής τους. Το πλεονέκτημα κάθε γραμμικού μετασχηματισμού είναι ότι καθιστά δυνατή την ανάλυση, σχεδιασμό και επίλυση του βασικού συστήματος, πράξη που θα ήταν πολλές τάξεις μεγέθους δυσκολότερη ενώ τώρα καθίστανται τετριμμένη με τη χρήση αλγεβρικών πινάκων. Τέλος η γραμμικότητα μπορεί να περιλαμβάνει ως όρους οποιαδήποτε συνάρτηση και ένα παράδειγμα είναι τα πολυώνυμα όπου κάθε όρος ανήκει σε διαφορετικό βαθμό. Κάθε βαθμός ορίζει μία διάσταση στο χώρο που ονομάζεται γραμμικός ή Ευκλείδιος προς τιμήν του μεγάλου μαθηματικού που έθεσε τα θεμέλια της γεωμετρίας, της διανυσματικής ανάλυσης και πολλών άλλων κλάδων. Αν ως όροι συμμετέχουν τα διαφορικά συναρτήσεων, τότε προκύπτουν οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις από τις οποίες οι δεύτερου βαθμού έχουν ιδιαίτερη σημασία γιατί περιγράφουν τα κύματα που απαντώνται εκτεταμένα στο σύμπαν.

Η γραμμικοποίηση των προβλημάτων οδηγεί στην επίλυση τους καθώς εξαλείφει την πολυπλοκότητα και επιτρέπει την άμεση εκτίμησή τους. Δυστυχώς ένα από τα προβλήματα της μαθηματικής εκπαίδευσης αποτελεί η ελλιπής επισήμανση της έννοιας και ουσίας της γραμμικότητας και η επιφανειακή αναφορά σε επιμέρους ιδιότητες και εφαρμογές, φαινόμενο που συμβαίνει και με άλλες έννοιες όπως το Πυθαγόρειο θεώρημα, τους πρώτους αριθμούς, το ότι οι αριθμοί π και e είναι άρρητοι κα. 

ΥΓ. Το παρόν κείμενο απαιτεί κάποια γνώση μαθηματικών αρχών και έχει στόχο να κεντρίσει το ενδιαφέρον του αναγνώστη στο να αναζητήσει απαντήσεις στα ενδεχόμενα ερωτήματά του και όχι να εξηγήσει αναλυτικά κάθε θέμα.