Τα Στοιχεία του Ευκλείδη

Γράφει ο Βαγγέλης Τσούκας

Ο Ευκλείδης της Αλεξανδρείας ήταν αρχαίος Έλληνας μαθηματικός που έδρασε στην Αίγυπτο τον 3ο αιώνα πΧ κατά τη διάρκεια της εξουσίας του Πτολεμαίου.

 Περίπου το 300 πΧ. συνέγραψε το βιβλίο "Στοιχεία" σε 13 τόμους, το οποίο επιχειρεί να ορίσει με αυστηρό τρόπο ένα μαθηματικό σύστημα γεωμετρίας. Το βιβλίο αποτελεί την πρώτη, μεγαλύτερη και καλύτερη πραγματεία μαθηματικών του Αρχαίου κόσμου και θεωρείται το πιο επιτυχές, πολυμεταφρασμένο και πολυδιαβασμένο βιβλίο στην ανθρωπότητα, ενώ σε αριθμό εκδόσεων βρίσκεται πίσω μόνο από τη Βίβλο. Για 22 συναπτούς αιώνες, μέχρι τον 20ο, οπότε αντικαταστάθηκε από πιο σύγχρονα συγγράμματα, διδασκόταν σε όλες τις ακαδημίες και πανεπιστήμια του κόσμου, αποτέλεσε οδηγό για την ανθρώπινη λογική σκέψη και συνέβαλε στην ανάπτυξη άλλων κλάδων των μαθηματικών και της επιστήμης.

Η φιλοσοφία του έργου βασίζεται στη διατύπωση ενός αριθμού συγκεκριμένων αρχικών υποθέσεων που δεν αποδεικνύονται αλλά φαίνονται προφανείς (αξιώματα) και στη συνέχεια, με τη βοήθεια αυτών, αποδεικνύονται με λογικά βήματα άλλες προτάσεις (θεωρήματα). Η διάρθρωση έχει ως εξής: οι πρώτοι τέσσερις τόμοι ασχολούνται με τη γεωμετρία του επιπέδου, ενώ ο πρώτος περιέχει τα πέντε περίφημα αξιώματα, ή, όπως τα ονομάζει ο συγγραφέας "αιτήματα", της θεωρίας. Από αυτά προκύπτουν διάφορα συμπεράσματα και εξισώσεις που αφορούν τα απλά γεωμετρικά σχήματα, τρίγωνο και κύκλο. Οι τόμοι 5-10 περιέχουν γεωμετρικές αναλογίες και κλάσματα με τα οποία αποδεικνύονται πολλά σημαντικά θεωρήματα της άλγεβρας και της θεωρίας των αριθμών, όπως το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, η απειρία των πρώτων αριθμών κα. Τέλος, οι τόμοι 11-13 επεκτείνουν τη μελέτη στις τρεις διαστάσεις και ασχολούνται με σχήματα όπως κώνοι, πυραμίδες και Πλατωνικά στερεά. Ιδιαίτερη σημασία αποκτά το 5ο από τα αιτήματα του Ευκλείδη, γνωστό ως αξίωμα των Παραλλήλων ευθειών, το οποίο αναφέρει ότι "από ένα συγκεκριμένο σημείο εκτός ευθείας, διέρχεται μόνο μία παράλληλη σε αυτήν". Η πρόταση αυτή συζητήθηκε εκτεταμένα γιατί θεωρήθηκε ότι προκύπτει διαισθητικά από την εμπειρία μας και όχι αξιωματικά από τη φύση. Για 2000 χρόνια πολλοί μαθηματικοί προσπάθησαν να την αποδείξουν ως θεώρημα από τα υπόλοιπα τέσσερα αξιώματα, αλλά δεν τα κατάφεραν και πάντα απαιτούνταν η προσθήκη κάποιου άλλου ισοδύναμου. Κατά τον 19ο αιώνα μαθηματικοί, όπως o Lobachevsky και ο Riemmann, επέκτειναν το 5ο αίτημα, αποδεικνύοντας ότι από σημείο εκτός ευθείας δεν περνάει καμία παράλληλη ή περνούν άπειρες παράλληλες, γεννώντας, αντίστοιχα, τις δύο μη-Ευκλείδιες γεωμετρίες, την υπερβολική και την ελλειπτική ή σφαιρική. Ιδιαίτερα η τελευταία έτυχε σημαντικής εφαρμογής στη σύγχρονη φυσική και τη θεωρία της σχετικότητας του Einstein γιατί περιγράφει την καμπύλωση του χωροχρόνου από τη μάζα. Προς τιμήν του μεγάλου μαθηματικού της αρχαιότητας ο γραμμικός διανυσματικός χώρος οποιασδήποτε διάστασης, που αποτελεί τη βάση της γραμμικής άλγεβρας, ονομάστηκε Ευκλείδιος.

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη περιέχουν άφθονο πλούτο γνώσης και αφορμή για σκέψη που οξύνει το μυαλό και βελτιώνει τη νοημοσύνη. Για παράδειγμα, ο αλγόριθμος εύρεσης του μέγιστου κοινού διαιρέτη  δύο αριθμών, που αναφέρεται στον 7ο τόμο, είναι από τους ταχύτερους που έχουν εφευρεθεί και είναι τόσο απλός που γίνεται κατανοητός από μαθητές δημοτικού, αλλά δυστυχώς αντί να διδάσκεται εγκαίρως, προτιμώνται πιο πολύπλοκες μέθοδοι που παρέχονται πολύ αργότερα. Η σημασία, όμως, των Στοιχείων ξεπερνά κατά πολύ τον χώρο των μαθηματικών και επεκτείνεται ευρύτερα στην κοινωνία: υπενθυμίζουν ότι τα ποιοτικά γραπτά κείμενα αποτελούν φάρο της ανθρωπότητας που την κατευθύνουν σε ασφαλή ύδατα στο σκοτεινό πέλαγος του χρόνου.-